벡터 공간 에서 (자기 자신) 에 대한 linear map 을 linear operator 라고 부른다.
벡터 공간 V 에서 V (자기 자신) 에 대한 linear map 을 linear operator 라고 부른다.
두 real vector space V, W 에 대하여, mapping \Phi: V \rightarrow W 은 모든 \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in V 그리고 \lambda \in \mathbb{R} 에 대해 다음을 만족하는 경우, vector space 의 구조를 보존한다고 말할 수 있다.
벡터 공간이란 어떤 벡터 집합을 의미하며, 그 집합 내 어떠한 벡터들 끼리 더하거나 서로 곱해도 집합 내 벡터가 된다.
p- 차원 공간에서 hyperplane 이란, p-1 차원의 flat affine subspace 을 의미한다. 예를 들어, 2 차원에서 hyperplane 은 1 차원 flat subspace, 즉 line 이다.
벡터 집합의 span 이란, original vectors 들의 선형 결합 으로 인해 얻어지는 모든 points 들의 집합 (vector space) 을 의미한다.
matrix \boldsymbol{A} 의 eigenvector 는 \boldsymbol{A}\boldsymbol{v}=\lambda\boldsymbol{v} 를 만족하는 vector \boldsymbol{v} 를 의미한다.
벡터들의 집합 \left\{\boldsymbol{v}^{(1)}, \ldots, \boldsymbol{v}^{(n)}\right\} 에 대한 선형 결합이란, 각 벡터 \boldsymbol{v}^{(i)} 에 대해 scalar 계수를 곱해서 더한 것을 의미한다.
vector space V 가 존재하고 순서가 있는 basis B=\left(\boldsymbol{b}_{1}, \ldots, \boldsymbol{b}_{n}\right) 가 V 에 있다면, 모든 \boldsymbol{x} \in V 는 unique 한 표현을 가진다 (linear combination).
vector space V, W 에 따른 각각의 ordered bases B=\left(\boldsymbol{b}_{1}, \ldots, \boldsymbol{b}_{n}\right) 그리고 C=\left(\boldsymbol{c}_{1}, \ldots, \boldsymbol{c}_{m}\right) 가 있다고 했을 때, linear mapping \Phi: V \rightarrow W 는 j \in\{1, \ldots, n\} 에 대하여 다음과 같다.
n- 차원 유클리디안 공간은 \mathbb{R}^{n} 와 같이 표시된다. 이 공간에 존재하는 벡터들은 n-tuples 형태의 실수들로 구성된다.
V 가 벡터 공간이고 U \subseteq V 는 V 의 subspace 라고 하자.