- 차원 공간에서 hyperplane 이란, 차원의 flat affine subspace 을 의미한다. 예를 들어, 2 차원에서 hyperplane 은 1 차원 flat subspace, 즉 line 이다.
2 차원에서 hyperplane (line) 은 다음과 같이 정의된다.
- 차원에서의 hyperplane
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p- 차원 공간에서 hyperplane 이란, p−1 차원의 flat affine subspace 을 의미한다. 예를 들어, 2 차원에서 hyperplane 은 1 차원 flat subspace, 즉 line 이다.
2 차원에서 hyperplane (line) 은 다음과 같이 정의된다.
β0+β1X1+β2X2=0p- 차원에서의 hyperplane
β0+β1X1+β2X2+⋯+βpXp=0...2차원에서 원점을 지나는 직선은 subspace 이고, 원점을 지나지 않는 직선은 affine subspace 다. “flat” 이라는 말도 같은 뜻으로 쓴다. 휘어지지 않았다는 의미다. hyperplane 과의 연결 p 차원 공간에서 hyperplane 은 p-1 차원의 flat affine subspace 다. 2차원에서는 직선, 3차원에서는 평면이 된다.
Hyperplane
선형 변환에 평행이동을 더한 것을 affine 이라고 한다.
어떤 벡터 공간 이 주어졌을 때, 해당 공간에 대한 모든 basis 는 vector 들과 동일 수를 만족해야 한다. 이 수는 그 공간에 대한 차원 (dimension) 이라고 부른다. Note matrix 은 rank 가 존재하지만 차원 개념은 없다.
벡터 집합의 span 이란, original vectors 들의 선형 결합 으로 인해 얻어지는 모든 points 들의 집합 (vector space) 을 의미한다.
n- 차원 유클리디안 공간은 \mathbb{R}^{n} 와 같이 표시된다. 이 공간에 존재하는 벡터들은 n-tuples 형태의 실수들로 구성된다. \mathbf{x}=\left(x {1}, x {2}, \ldots, x {n}\right).
벡터 공간 V 에서 V (자기 자신) 에 대한 linear map 을 linear operator 라고 부른다.
벡터 공간 은 또 다른 벡터 공간을 포함할 수 있다. 벡터 공간에 존재하는 또 다른 벡터 공간을 subspace 라고 한다. 만약 V 라는 벡터 공간에 대한 subspace S 가 존재하는 경우 S \subseteq V 로 표현하며, 다음을 만족한다.
벡터들의 집합 \left\{\boldsymbol{v}^{(1)}, \ldots, \boldsymbol{v}^{(n)}\right\} 에 대한 선형 결합이란, 각 벡터 \boldsymbol{v}^{(i)} 에 대해 scalar 계수를 곱해서 더한 것을 의미한다.
Classification with SVM binary classification 의 핵심은 D 차원 공간에 존재하는 example 들을 레이블에 따라 두 파티션으로 나눈다는 것이다. 이때, 공간을 나누는 역할을 hyperplane 이 맡게된다.
References MIT OPEN SOURCEWARE .
vector space V 가 존재하고 순서가 있는 basis B=\left(\boldsymbol{b} {1}, \ldots, \boldsymbol{b} {n}\right) 가 V 에 있다면, 모든 \boldsymbol{x} \in V 는 unique 한 표현을 가진다 (linear combination).