- 차원 유클리디안 공간은 와 같이 표시된다. 이 공간에 존재하는 벡터들은 -tuples 형태의 실수들로 구성된다.
n- 차원 유클리디안 공간은 Rn 와 같이 표시된다. 이 공간에 존재하는 벡터들은 n-tuples 형태의 실수들로 구성된다.
x=(x1,x2,…,xn)벡터 공간이란 어떤 벡터 집합을 의미하며, 그 집합 내 어떠한 벡터들 끼리 더하거나 서로 곱해도 집합 내 벡터가 된다.
p- 차원 공간에서 hyperplane 이란, p-1 차원의 flat affine subspace 을 의미한다. 예를 들어, 2 차원에서 hyperplane 은 1 차원 flat subspace, 즉 line 이다.
어떤 벡터 공간 이 주어졌을 때, 해당 공간에 대한 모든 basis 는 vector 들과 동일 수를 만족해야 한다. 이 수는 그 공간에 대한 차원 (dimension) 이라고 부른다.
vector space V 가 존재하고 순서가 있는 basis B=\left(\boldsymbol{b}_{1}, \ldots, \boldsymbol{b}_{n}\right) 가 V 에 있다면, 모든 \boldsymbol{x} \in V 는 unique 한 표현을 가진다 (linear combination).
벡터 집합의 span 이란, original vectors 들의 선형 결합 으로 인해 얻어지는 모든 points 들의 집합 (vector space) 을 의미한다.
벡터 공간 V 에서 V (자기 자신) 에 대한 linear map 을 linear operator 라고 부른다.
norm V 이란, 벡터 공간에 존재하는 벡터의 크기를 측정하기 위한 함수를 의미한다.
where a_{i j} \in \mathbb{R} and b_{i} \in \mathbb{R}.
벡터들의 집합 \left\{\boldsymbol{v}^{(1)}, \ldots, \boldsymbol{v}^{(n)}\right\} 에 대한 선형 결합이란, 각 벡터 \boldsymbol{v}^{(i)} 에 대해 scalar 계수를 곱해서 더한 것을 의미한다.
nullspace N(A) 는 m\times n matrix A 에 대해서, A\mathbf{x}=\mathbf{0} 에 대한 모든 solution 들 x\in\mathbf{R}^{n} 의 collection 을 뜻한다. 즉, N(A) 는 선형 결합 을 통해 zero vector 를 얻을 수 있는 column vector 들을 포함하고 있다.