- 차원 유클리디안 공간은 와 같이 표시된다. 이 공간에 존재하는 벡터들은 -tuples 형태의 실수들로 구성된다.
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n- 차원 유클리디안 공간은 Rn 와 같이 표시된다. 이 공간에 존재하는 벡터들은 n-tuples 형태의 실수들로 구성된다.
x=(x1,x2,…,xn)p- 차원 공간에서 hyperplane 이란, p-1 차원의 flat affine subspace 을 의미한다. 예를 들어, 2 차원에서 hyperplane 은 1 차원 flat subspace, 즉 line 이다.
벡터 공간이란 어떤 벡터 집합을 의미하며, 그 집합 내 어떠한 벡터들 끼리 더하거나 서로 곱해도 집합 내 벡터가 된다. vector space \mathbf{R}^{n} 는 n 개의 원소가 존재하는 모든 column vectors 벡터 v 들로 이루어져 있다.
어떤 벡터 공간 이 주어졌을 때, 해당 공간에 대한 모든 basis 는 vector 들과 동일 수를 만족해야 한다. 이 수는 그 공간에 대한 차원 (dimension) 이라고 부른다. Note matrix 은 rank 가 존재하지만 차원 개념은 없다.
vector space V 가 존재하고 순서가 있는 basis B=\left(\boldsymbol{b} {1}, \ldots, \boldsymbol{b} {n}\right) 가 V 에 있다면, 모든 \boldsymbol{x} \in V 는 unique 한 표현을 가진다 (linear combination).
벡터 공간 V 에서 V (자기 자신) 에 대한 linear map 을 linear operator 라고 부른다.
벡터 집합의 span 이란, original vectors 들의 선형 결합 으로 인해 얻어지는 모든 points 들의 집합 (vector space) 을 의미한다.
References MIT OPEN SOURCEWARE .
벡터들의 집합 \left\{\boldsymbol{v}^{(1)}, \ldots, \boldsymbol{v}^{(n)}\right\} 에 대한 선형 결합이란, 각 벡터 \boldsymbol{v}^{(i)} 에 대해 scalar 계수를 곱해서 더한 것을 의미한다.
The General Form of a System of Linear Equations \begin{gathered} a {11} x {1}+\cdots+a {1 n} x {n}=b {1} \\ \vdots \\ a {m 1} x {1}+\cdots+a {m n} x {n}=b {m} \end{gathered}...
벡터 공간 은 또 다른 벡터 공간을 포함할 수 있다. 벡터 공간에 존재하는 또 다른 벡터 공간을 subspace 라고 한다. 만약 V 라는 벡터 공간에 대한 subspace S 가 존재하는 경우 S \subseteq V 로 표현하며, 다음을 만족한다.