transformation matrix

vector space $V,W$ 에 따른 각각의 ordered bases $B=\left({\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n\right)$ 그리고 $C=\left({\mathbf{c}}_1,\dots ,{\mathbf{c}}_m\right)$ 가 있다고 했을 때, linear mapping $\Phi :V\to W$ 는 $j\in \{1,\dots ,n\}$ 에 대하여 다음과 같다.

$$\Phi \left({\mathbf{b}}_j\right)={\alpha }_{1j}{\mathbf{c}}_1+\cdots +{\alpha }_{mj}{\mathbf{c}}_m=\sum _{i=1}^m{\alpha }_{ij}{\mathbf{c}}_i$$

이때 $m\times n$ 크기의 변환 행렬 ${\mathbf{A}}_{\Phi }$ 의 원소는 $A_{\Phi }(i,j)={\alpha }_{ij}$ 이다.

예시

Consider a homomorphism $\Phi :V\to W$ and ordered bases $B=$ $\left({\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_3\right)$ of $V$ and $C=\left({\mathbf{c}}_1,\dots ,{\mathbf{c}}_4\right)$ of $W$.

$$\begin{array}{rl}& \Phi \left({\mathbf{b}}_1\right)={\mathbf{c}}_1-{\mathbf{c}}_2+3{\mathbf{c}}_3-{\mathbf{c}}_4\\ & \Phi \left({\mathbf{b}}_2\right)=2{\mathbf{c}}_1+{\mathbf{c}}_2+7{\mathbf{c}}_3+2{\mathbf{c}}_4\\ & \Phi \left({\mathbf{b}}_3\right)=3{\mathbf{c}}_2+{\mathbf{c}}_3+4{\mathbf{c}}_4\end{array}$$

$B$ and $C$ 에 대한 the transformation matrix ${\mathbf{A}}_{\Phi }$ 는 $\Phi \left({\mathbf{b}}_k\right)=$ ${\sum }_{i=1}^4{\alpha }_{ik}{\mathbf{c}}_i$ for $k=1,\dots ,3$ 를 만족한다.

$${\mathbf{A}}_{\Phi }=\left[{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ -1& 1& 3\\ 3& 7& 1\\ -1& 2& 4\end{array}\right]$$

여기서 ${\mathbf{\alpha }}_j,j=1,2,3$ 는 $C$ 에 대한 $\Phi \left({\mathbf{b}}_j\right)$ 의 coordinates vector 다.