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벡터 집합의 span 이란, original vectors 들의 선형 결합 으로 인해 얻어지는 모든 points 들의 집합 (vector space) 을 의미한다.
span{v1,…,vn}={v∈V:∃α1,…,αn such that α1v1+⋯+αnvn=v}예를 들어, A 의 column vector들의 span은 A 의 column space를 의미한다.
Ax=b 가 solution 이 존재하는지 여부는 A 의 column vector들의 span(column space)에 b가 포함되는지 여부를 조사하는 것과 같다.
예시 Q. 4 개의 벡터 (1,1,-2,0,-1), (1,2,0,-4,1),(0,1,3,-3,2),(2,3,0,-2,0) 가 span 으로 구성된 벡터 공간의 basis 와 차원 수를 구하라. A. elimination 을 통해 선형 독립을 만족하는 벡터 개수를 구하면 된다.
특징 span 과의 관계
... space Rⁿ 는 n 개의 원소가 존재하는 모든 column vectors 벡터 v 들로 이루어져 있다. 유한, 무한 차원 공간 어떤 vector space 이 유한한 개수의 벡터들에 의해 span 형태로 구성된다면, 이를 유한 차원 (finite-diemnsional) 이라고 말하고, 그 반대는 무한 차원 (infinite-dimensional) 이라고 말한다. Vector Space ...
column space C(A) 는 matrix A 의 columns 들의 모든 선형 결합 을 통해 구성되는 subspace 를 의미한다.
벡터들의 집합 \left\{\boldsymbol{v}^{(1)}, \ldots, \boldsymbol{v}^{(n)}\right\} 에 대한 선형 결합이란, 각 벡터 \boldsymbol{v}^{(i)} 에 대해 scalar 계수를 곱해서 더한 것을 의미한다.
벡터 공간이란 어떤 벡터 집합을 의미하며, 그 집합 내 어떠한 벡터들 끼리 더하거나 서로 곱해도 집합 내 벡터가 된다. vector space \mathbf{R}^{n} 는 n 개의 원소가 존재하는 모든 column vectors 벡터 v 들로 이루어져 있다.
벡터 공간 은 또 다른 벡터 공간을 포함할 수 있다. 벡터 공간에 존재하는 또 다른 벡터 공간을 subspace 라고 한다. 만약 V 라는 벡터 공간에 대한 subspace S 가 존재하는 경우 S \subseteq V 로 표현하며, 다음을 만족한다.
벡터 공간 을 만드는 벡터를 뜻한다. 다시 말하면, 어떤 벡터들의 집합이 1) 선형 독립 을 만족하고, 2) 이 집합의 span 이 벡터 공간 V 을 구성한다면, 그 집합의 벡터들은 V 에 대한 basis 라고 부를 수 있다.
p- 차원 공간에서 hyperplane 이란, p-1 차원의 flat affine subspace 을 의미한다. 예를 들어, 2 차원에서 hyperplane 은 1 차원 flat subspace, 즉 line 이다.
어떤 벡터 공간 이 주어졌을 때, 해당 공간에 대한 모든 basis 는 vector 들과 동일 수를 만족해야 한다. 이 수는 그 공간에 대한 차원 (dimension) 이라고 부른다. Note matrix 은 rank 가 존재하지만 차원 개념은 없다.
vector space V 가 존재하고 순서가 있는 basis B=\left(\boldsymbol{b} {1}, \ldots, \boldsymbol{b} {n}\right) 가 V 에 있다면, 모든 \boldsymbol{x} \in V 는 unique 한 표현을 가진다 (linear combination).
벡터 공간 V 에서 V (자기 자신) 에 대한 linear map 을 linear operator 라고 부른다.
nullspace N(A) 는 m\times n matrix A 에 대해서, A\mathbf{x}=\mathbf{0} 에 대한 모든 solution 들 x\in\mathbf{R}^{n} 의 collection 을 뜻한다.