Linear Combination

벡터들의 집합 $\left\{{\mathbf{v}}^{(1)},\dots ,{\mathbf{v}}^{(n)}\right\}$ 에 대한 선형 결합이란, 각 벡터 ${\mathbf{v}}^{(i)}$ 에 대해 scalar 계수를 곱해서 더한 것을 의미한다.

$$\sum _i{c}_i{\mathbf{v}}^{(i)}$$

이는 matrix 와 vector 곱의 경우도 선형 결합으로 볼 수 있는데, 왜냐하면 각 벡터의 원소가 그에 따른 matrix 의 column vector 와 곱해지는 것으로 볼 수 있기 때문이다.

$$\mathbf{A}\mathbf{x}=\sum _i{x}_i{\mathbf{A}}_{:,i}$$

2 차원 벡터 기준으로, 벡터 개수에 따른 모든 선형 결합은 다음을 만족한다.

• single vector, $\mathbf{u}$: line
• double vector, $u$, and $v$: plane
• triple vector, $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}$: 전체 공간 ${\mathbf{R}}^3$

세 벡터 $\mathbf{u}$ and $\mathbf{v}$ and $\mathbf{u}$ 의 선형 결합은 다음과 같다: $c\mathbf{u}+d\mathbf{v}+e\mathbf{w}$

B) 예시

다음 식

$$\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0\\ 3\end{array}\right]$$

는 다음과 같이 바뀐다.

$$x\left[\begin{array}{r}2\\ -1\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0\\ 3\end{array}\right]$$

C) Related

D) References