Linear Mapping
두 real vector space 에 대하여, mapping 은 모든 그리고 에 대해 다음을 만족하는 경우, vector space 의 구조를 보존한다고 말할 수 있다.
\begin{aligned} \Phi(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}) &=\Phi(\boldsymbol{x})+\Phi(\boldsymbol{y}) \\ \Phi(\lambda \boldsymbol{x}) &=\lambda \Phi(\boldsymbol{x}) \end{aligned}$$ 즉, mapping이 $\forall \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in V \forall \lambda, \psi \in \mathbb{R}: \Phi(\lambda \boldsymbol{x}+\psi \boldsymbol{y})=\lambda \Phi(\boldsymbol{x})+\psi \Phi(\boldsymbol{y})$ 를 만족한다면 linear mapping 이라 부른다. 일반적으로 linear map 표기를 $\Phi(x)$ 가 아니라 ambiguity를 줄이기 위해 $\Phi x$로 설정한다고 한다. ## A.1) Homomorphism algebraic term으로 linear mapping $\Phi: V \rightarrow W$이 성립한다면, 이를 homomorphism이라고 부른다. 그리고 그 반대($\Phi: W \rightarrow V$)도 homomorphism이 성립한다면, 이를 isomorphism 이라고 부른다. # B) Mapping 특성 $\Phi: V \rightarrow W$ 는 다음과 같은 특성을 가질 수 있다. * injective: if $\forall \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathcal{V}: \Phi(\boldsymbol{x})=\Phi(\boldsymbol{y}) \Longrightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$ * surjective: if $\Phi(\mathcal{V})=\mathcal{W}$ $\mathcal{V}$ 의 모든 원소들은 $\mathcal{W}$ 에 $\Phi$를 통해 도작할 수 있다. * bijective: injective 하면서 surjective 할 때 ## B.1) Special Cases of Linear Mappings * isomorphism: $\Phi: V \rightarrow W$ 에서 linear 하고 bijective 하는 경우 * Endomorphism: $\Phi: V \rightarrow V$ linear 한 경우 * Automorphism: $\Phi: V \rightarrow V$ 에서 linear 하고 bijective 하는 경우 * # C) Related # D) References