linear mapping

두 real vector space $V,W$ 에 대하여, mapping $\Phi :V\to W$ 은 모든 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in V$ 그리고 $\lambda \in \mathbb{R}$ 에 대해 다음을 만족하는 경우, vector space 의 구조를 보존한다고 말할 수 있다.

$$\begin{array}{rl}\Phi (\mathbf{x}+\mathbf{y})& =\Phi (\mathbf{x})+\Phi (\mathbf{y})\\ \Phi (\lambda \mathbf{x})& =\lambda \Phi (\mathbf{x})\end{array}$$

즉, mapping이 $\forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in V\forall \lambda ,\psi \in \mathbb{R}:\Phi (\lambda \mathbf{x}+\psi \mathbf{y})=\lambda \Phi (\mathbf{x})+\psi \Phi (\mathbf{y})$ 를 만족한다면 linear mapping 이라 부른다.

일반적으로 linear map 표기를 $\Phi (x)$ 가 아니라 ambiguity를 줄이기 위해 $\Phi x$로 설정한다고 한다.

Homomorphism

algebraic term으로 linear mapping $\Phi :V\to W$이 성립한다면, 이를 homomorphism이라고 부른다. 그리고 그 반대($\Phi :W\to V$)도 homomorphism이 성립한다면, 이를 isomorphism 이라고 부른다.

Mapping 특성

$\Phi :V\to W$ 는 다음과 같은 특성을 가질 수 있다.

• injective: if $\forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathcal{V}:\Phi (\mathbf{x})=\Phi (\mathbf{y})⟹\mathbf{x}=\mathbf{y}$
• surjective: if $\Phi (\mathcal{V})=\mathcal{W}$ $\mathcal{V}$ 의 모든 원소들은 $\mathcal{W}$ 에 $\Phi$를 통해 도작할 수 있다.
• bijective: injective 하면서 surjective 할 때

Special Cases of Linear Mappings

• isomorphism: $\Phi :V\to W$ 에서 linear 하고 bijective 하는 경우
• Endomorphism: $\Phi :V\to V$ linear 한 경우
• Automorphism: $\Phi :V\to V$ 에서 linear 하고 bijective 하는 경우