Subspace

벡터 공간 은 또 다른 벡터 공간을 포함할 수 있다. 벡터 공간에 존재하는 또 다른 벡터 공간을 subspace 라고 한다.

만약 $V$ 라는 벡터 공간에 대한 subspace $S$ 가 존재하는 경우 $S\subseteq V$ 로 표현하며, 다음을 만족한다.

1. $0\in S$ : zero vector 를 포함해야 한다. 왜냐하면 어떤 벡터에 scalar 0 을 곱하면 항상 zero vector 가 나오기 때문이다. 이는 조건 (3) 을 만족해야 하는 것과 동일하다.
2. $\mathbf{x},\mathbf{y}\in S$ 인 경우 $\mathbf{x}+\mathbf{y}\in S$ 를 만족한다.
3. $\mathbf{x}\in S,\alpha \in \mathbb{R}$ 인 경우 $\alpha \mathbf{x}\in S$ 를 만족한다.

2. Notes

1. $V$ 는 언제나 $V$ 에 대한 subspace 이다.
2. zero vector 자체가 subspace 가 될 수 있다 (위 세개의 조건을 만족함).

3. Subspace 의 합

$U$ 와 $W$ 가 $V$ 에 대한 subspace 라면, 이 두 공간의 합은 다음과 같이 정의된다.

$$U+W=\{\mathbf{u}+\mathbf{w}\mid \mathbf{u}\in U,\mathbf{w}\in W\}$$

물론 공간의 합 역시 $V$ 에 대한 subspace 이다.

3.1. Direct Sum

벡터 공간끼리 겹치는 것이 영 벡터 밖에 없다면 ($U\cap W=\{0\}$), 이 두 공간의 합은 direct sum 이라 하며 $U\oplus W$ 로 표현한다. 즉, $U\oplus W$ 공간안에 있는 모든 벡터는 $\mathbf{u}+\mathbf{w}$ ($\mathbf{u}\in U$ and $\mathbf{w}\in W$) 로 나타낼 수 있는 것이다.

3.2. Dimension of Sums of Subspaces

subspace 들의 합에 대한 차원은 다음과 같이 표현이 가능하다.

$$\dim (U+W)=\dim U+\dim W-\dim (U\cap W)$$

만약 sum 이 direct 라면, $\dim (U\cap W)=\dim (\{0\})=0$ 를 만족하므로, 부분 공간의 합에 대한 차원은 다음과 같이 간략히 표현된다.

$$\dim (U\oplus W)=\dim U+\dim W$$

4. 특징

span 과의 관계

• $V$ 라는 벡터 공간에 존재하는 벡터 집합을 $S$ 라 하고, $S$ 벡터들의 모든 조합들을 $SS$ 라 할때, $S$ 의 span 은 subspace $SS$ 라고 할 수 있다.

5. Related

6. References

• MIT Course - 5. Transposes, Permutations, Spaces R^n