Basis

벡터 공간 을 만드는 벡터를 뜻한다.

다시 말하면, 어떤 벡터들의 집합이 1) 선형 독립 을 만족하고, 2) 이 집합의 span 이 벡터 공간 $V$ 을 구성한다면, 그 집합의 벡터들은 $V$ 에 대한 basis 라고 부를 수 있다.

사실, 모든 선형 독립을 만족하는 벡터들의 집합은 그 집합의 span 에서 basis 를 담당하게 된다. 즉, ${\mathbb{R}}^n$ 에 존재하는 $n$ 개의 column vector 를 통해 구성된 matrix 가 invertible 하다면, 해당 vector 들은 basis 를 구성한다.

A.1) Basis for a Subspace

${\mathbb{R}}^n$ 에 대한 모든 basis 는 정확히 $n$ 개의 vector (dimension 수) 를 만족해야 한다.그렇다고 어떤 공간에 필요한 basis 개수가 차원 개수라는 것 뿐이지, 그 공간에 basis 수가 차원 수밖에 없다는 것으로 오해하면 안된다. 예시로, ${\mathbb{R}}^3$ 에 존재하는 $\left[\begin{array}{l}1\\ 1\\ 2\end{array}\right]$ 와 $\left[\begin{array}{l}2\\ 2\\ 5\end{array}\right]$ 벡터의 span 은 plane 을 구성하는데, 이는 ${\mathbb{R}}^3$ 에 대한 basis 를 구성하지 못한다 (대신 2 차원 공간 ${\mathbb{R}}^2$ 는 가능하다).

A.2) Bases of a Column Space and Nullspace

any matrix $A$ 에 대하여 다음을 항상 만족한다.

• $A$ 의 rank = $A$ 의 pivot column 개수 = column space $C(A)$ 의 차원 수
• nullspace $N(A)$ 의 차원 수 = free variable 개수 = $n-r$ 여기서 $n$ 은 $A$ 의 column 개수이고, $r$ 은 rank

A.3) 예시

Q. 4 개의 벡터 $(1,1,-2,0,-1)$, $(1,2,0,-4,1)$,$(0,1,3,-3,2)$,$(2,3,0,-2,0)$ 가 span 으로 구성된 벡터 공간의 basis 와 차원 수를 구하라.

A. elimination 을 통해 선형 독립을 만족하는 벡터 개수를 구하면 된다.

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& -2& 0& -1\\ 1& 2& 0& -4& 1\\ 0& 1& 3& -3& 2\\ 2& 3& 0& -2& 0\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccccc}1& 1& -2& 0& -1\\ 0& 1& 2& -4& 2\\ 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

basis 는 $(1,1,-2,0,-1)$, $(0,1,2,-4,2)$, $(0,0,1,1,0)$ 이며, 차원 수 (i.e. basis 개수) 3 이다.

중요한 점은 row-echelon form 을 통해 구해진 vector 를 그대로 basis 로 썼다는 점이다. 이게 가능한 이유는 REF form 형태의 vector 로도 original vector 를 재현해낼 수 있기 때문이다. 그렇지 않을 경우, original vector 를 basis 로 써야 한다 (refer).

B) Orthonormal Basis

만약 기저 벡터가 unit vector 면서 서로 orthogonal 이라면, 이러한 기저 벡터를 orthonormal(정규직교) basis vector 라고 부른다.

아래 그림은 정규직교 기저 벡터 $\mathbf{k}$, $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ 를 나타낸다.

C) Basis Change

linear mapping $\Phi :V\to W$ 에 대하여, $V$ 에 대한 ordered bases $B=\left({\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n\right),\tilde{B}=\left({\tilde{\mathbf{b}}}_1,\dots ,{\tilde{\mathbf{b}}}_n\right)$ 가 존재하고, $W$ 에 대한 $C=\left({\mathbf{c}}_1,\dots ,{\mathbf{c}}_m\right),\tilde{C}=\left({\tilde{\mathbf{c}}}_1,\dots ,{\tilde{\mathbf{c}}}_m\right)$ 가 존재한다고 하자.

이때 다음을 만족한다.

$${\tilde{A}}_{\Phi }={\mathbf{T}}^{-1}{A}_{\Phi }\mathbf{S}$$ $$[[transformationmatrix|변환행렬]]이다음과같다고하자.$$

A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \ 1 & 2\end{array}\right]

$$만약새로운basis$$

B=\left(\left[\begin{array}{l}1 \ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1 \ -1\end{array}\right]\right)

$$ 를 정의한다면, 다음과 같은 $B$ 에 대한 새로운 대각 변환 행렬을 얻을 수 있다.

\tilde{A}=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$$ 이는 $A$ 보다 훨씬 작업하기가 쉬운 형태다. # D) Related # E) References