Matrix

matrix 는 linear mapping 또는 vector 의 collection 이라고 생각할 수 있다. 벡터 공간 은 꽤 추상적이므로, 이를 컴퓨터에 표현하고 다루기 위해서는 숫자들로 구성된 직사각형 array 들, 즉, 행렬을 사용할 필요가 있다.

The Matrix of a Linear Map

$W$ 와 $V$ 가 유한 차원의 벡터 공간을 이루고, 이에 대한 기저들이 ${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n$ and ${\mathbf{w}}_1,\dots ,{\mathbf{w}}_m$ 로 구성된다고 가정하자. 그리고 linear map $T:V\to W$ 이 존재한다고 할 경우, 행렬 $T$ 는 원소 $A_{ij}$ 로 구성되며 다음과 같이 표현된다 ($i=1,\dots ,m$ , $j=1,\dots ,n$).

$$T{\mathbf{v}}_j=A_{1j}{\mathbf{w}}_1+\cdots +A_{mj}{\mathbf{w}}_m$$

위 뜻은 $T{\mathbf{v}}_j$ 를 표현하기 위해 $\mathbf{A}$ 의 $j$ 번째 column 이 $W$ 의 기저에 대한 coordinates 를 구성하고 있다는 의미가 된다.

반대로 생각하면, 모든 행렬 $\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ 는 선형 매핑 $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ 을 다음과 같이 나타낸다고 볼 수 있다. 즉, row 는 output dim 이고 column 은 input dim 으로 생각하면 편하다.

$$T\mathbf{x}=\mathbf{Ax}$$

Inverse Matrix

Inverse matrix 참조

Transpose

transpose 참조

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symmetric matrix

Square Matrix

만약 어떤 정방 행렬이 invertible 하면, 그 행렬을 tranpose 한 행렬도 inverse matrix 를 가진다. 즉, ${\left({\mathbf{A}}^{-1}\right)}^{\top }={\left({\mathbf{A}}^{\top }\right)}^{-1}=:{\mathbf{A}}^{-\top }$ 을 만족한다.

Elimination Matrix

• 실제로 triangular matrix 를 만들 때는 matrix multiplication 연산을 통해 coefficient 를 0 으로 만들면서 진행한다.
• 예시: $E_{31}=\left[\begin{array}{rll}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -\ell & 0& 1\end{array}\right]$
  • 첫번째 행에 $-l$ 을 곱하고, 세번째 행에서 빼준다.
  • $E\mathbf{b}=\left[\begin{array}{rll}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -4& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}1\\ 3\\ 9\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1\\ 3\\ 5\end{array}\right]$

Augmented Matrix

compact matrix notation 을 위한 행렬 표기로, 주로 Gaussian elimination 에서 사용하기 위해 활용한다.

즉, $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 를 풀기 위해 $[\mathbf{A}\mid \mathbf{b}]$ 로 표기하는 방법이다.

예시

$$\begin{array}{rl}& -2x_1+4x_2-2x_3-x_4+4x_5=-3\\ & 4x_1-8x_2+3x_3-3x_4+x_5=2\\ & x_1-2x_2+x_3-x_4+x_5=0\\ & x_1-2x_2-3x_4+4x_5=a\end{array}$$

가 있다고 가정하면, 다음과 같이 표기될 수 있다.

$$\left[\begin{array}{rrrrrr}-2& 4& -2& -1& 4& -3\\ 4& -8& 3& -3& 1& 2\\ 1& -2& 1& -1& 1& 0\\ 1& -2& 0& -3& 4& a\end{array}\right]$$