Projection 정의
가 벡터 공간이고 는 의 subspace 라고 하자.
이때, 을 만족하는 경우, linear mapping 을 projection 이라고 부른다.
Projection Matrix
linear mapping 은 transformation matrix 에 의해 표현될 수 있으므로, projection matrices 를 정의할 수 있다.
이 행렬은 다음과 같은 특징을 지닌다:
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V 가 벡터 공간이고 U⊆V 는 V 의 subspace 라고 하자.
이때, π2=π∘π=π 을 만족하는 경우, linear mapping π:V→U 을 projection 이라고 부른다.
linear mapping 은 transformation matrix 에 의해 표현될 수 있으므로, projection matrices Pπ 를 정의할 수 있다.
이 행렬은 다음과 같은 특징을 지닌다: Pπ2=Pπ
Dot Product 벡터 u 와 v 가 존재한다고 가정할때, 내적 u· v 은 v 에서 u 로 내린 projection p 의 길이와 u 의 크기 ||u|| 값을 곱한것과 같다.
여기서 B 는 projection matrix 로, 다음과 같이 표현된다.
여기서 B 는 projection matrix 로, 다음과 같이 표현된다.
Subspace 벡터 공간 은 또 다른 벡터 공간을 포함할 수 있다. 벡터 공간에 존재하는 또 다른 벡터 공간을 subspace 라고 한다. 만약 V 라는 벡터 공간에 대한 subspace S 가 존재하는 경우 S \subseteq V 로 표현하며, 다음을 만족한다.
Dot Product 벡터 u 와 v 가 존재한다고 가정할때, 내적 u\cdot v 은 v 에서 u 로 내린 projection p 의 길이와 u 의 크기 ||u|| 값을 곱한것과 같다. B) References.
norm V 이란, 벡터 공간에 존재하는 벡터의 크기를 측정하기 위한 함수를 의미한다.
PCA N 개의 i.i.d. 를 만족하는 데이터 포인트들 \mathbf{X}=\left[\mathbf{x} {1},\ldots,\mathbf{x} {N}\right]^{T} 이 존재하고, 각 \mathbf{x} 는 D 차원 벡터라고 하자.
L2 Loss L2 Loss 는 예측값과 정답의 차이를 제곱해서 penalty 를 주는 loss function 이다. L = \sum {i=1}^{n}(y i - \hat{y} i)^2 오차를 제곱하기 때문에 큰 오차에 훨씬 강한 penalty 를 준다.
Transformation Matrix vector space V, W 에 따른 각각의 ordered bases B=\left(\boldsymbol{b} {1}, \ldots, \boldsymbol{b} {n}\right) 그리고 C=\left(\boldsymbol{c} {1}, \ldots,...
Linear Mapping 두 real vector space V, W 에 대하여, mapping \Phi: V \rightarrow W 은 모든 \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in V 그리고 \lambda \in \mathbb{R} 에 대해 다음을 만족하는 경우, vector...
Dimension 어떤 벡터 공간 이 주어졌을 때, 해당 공간에 대한 모든 basis 는 vector 들과 동일 수를 만족해야 한다. 이 수는 그 공간에 대한 차원 (dimension) 이라고 부른다.
Hyperplane p- 차원 공간에서 hyperplane 이란, p-1 차원의 flat affine subspace 을 의미한다. 예를 들어, 2 차원에서 hyperplane 은 1 차원 flat subspace, 즉 line 이다.
Permutation Matrix 주어진 행렬의 행을 바꾸기 위한 행렬 (Row operation) \left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c &...