Linear Independence

벡터 공간 $V$ 에 존재하는 벡터 ${\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_k\in V,k\in \mathbb{N}$ 들에 대해서, 만약 $0={\sum }_{i=1}^k{\lambda }_i{\mathbf{x}}_i$ 을 만족하는 ${\lambda }_i$ 가 ${\lambda }_1=\dots ={\lambda }_k=0$ 밖에 없다면, 벡터 ${\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_k$ 들은 linearly independent 하다고 한다.

그러나, 만약 ${\lambda }_i\ne 0$ 에 대한 solution 이 하나라도 존재한다면 벡터 ${\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_k$ 들은 linearly dependent 하다.

$A\mathbf{x}$ 를 $A$ 의 column 에 대한 선형 결합 으로 생각할때, 만약 $A$ 의 nullspace 가 zero vector 밖에 포함하지 않는다면, 이 경우 $A$ 의 column vector 들은 선형 독립으로 생각할 수 있다.

그리고 $A$ 의 모든 column 이 독립이라 pivot column 을 나타낸다면, $A$ 의 rank 는 $n$ 이 되고, 이는 free variable 이 없는 것으로 생각할 수 있다. 반대로, $A$ 의 column 들이 종속이라면 $A$ 의 rank 는 $n$ 보다 낮을 것이고, free variable 이 존재하는 것으로 생각할 수 있다.

A.1) 관련된 사실들

• 어떤 $k$ 개의 벡터가 존재한다면, 그 벡터들은 반드시 선형 종속이거나 선형 독립이다.
• 만약 $k$ 개의 벡터 중 하나라도 0 벡터라면, 해당 벡터들은 선형 종속이다.
• ${\mathbf{x}}_i=\lambda {\mathbf{x}}_j,\lambda \in \mathbb{R}$ 를 하나라도 만족하면, 집합 $\left\{{\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_k:{\mathbf{x}}_i\ne 0,i=1,\dots ,k\right\}$ 은 선형 종속이다.

B) 선형 종속 체크 방법

실질적으로 벡터 간 선형 독립을 쉽게 확인하는 방법은 Gaussian elimination 을 통해 row-echelon form 으로 바꾸는 것이다.

C) Application

• $Ax=b$ 에서 $b$ 의 모든 값에 대해 solution 이 존재하기 위한 조건은 $A$ 가 정확히 $m$ 개의 선형 독립인 열 벡터들을 가져야 한다는 것이다.
• $A$ 는 $m\times n$ matrix

D) Related

singular