피타고라스 정리는 임의의 내적 공간에 대해서 다음과 같이 정의된다.
Theorem 1
만약 두 벡터가 (직교) 한다면, 를 만족한다.
증명
두 벡터가 직교하므로 내적의 값은 0 이다:
피타고라스 정리는 임의의 내적 공간에 대해서 다음과 같이 정의된다.
만약 두 벡터가 x⊥y (직교) 한다면, ∥x+y∥2=∥x∥2+∥y∥2 를 만족한다.
두 벡터가 직교하므로 내적의 값은 0 이다: ⟨x,y⟩=0
∥x+y∥2=⟨x+y,x+y⟩=⟨x,x⟩+⟨y,x⟩+⟨x,y⟩+⟨y,y⟩=∥x∥2+∥y∥2벡터 u 와 v 가 존재한다고 가정할때, 내적 u\cdot v 은 v 에서 u 로 내린 projection p 의 길이와 u 의 크기 ||u|| 값을 곱한것과 같다.
\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V 에 대해서 두 벡터 간 내적 의 절대값은 각 벡터의 크기의 곱보다 작다는 식이다.
두 벡터 \boldsymbol{b}_{i} 와 \boldsymbol{b}_{j} 가 orthonormal (정규 직교) 할 경우, 다음을 만족한다.
p- 차원 공간에서 hyperplane 이란, p-1 차원의 flat affine subspace 을 의미한다. 예를 들어, 2 차원에서 hyperplane 은 1 차원 flat subspace, 즉 line 이다.
Orthogonal은 두 vector의 dot product가 0인 관계를 뜻한다.
n- 차원 유클리디안 공간은 \mathbb{R}^{n} 와 같이 표시된다. 이 공간에 존재하는 벡터들은 n-tuples 형태의 실수들로 구성된다.
norm V 이란, 벡터 공간에 존재하는 벡터의 크기를 측정하기 위한 함수를 의미한다.
벡터 공간이란 어떤 벡터 집합을 의미하며, 그 집합 내 어떠한 벡터들 끼리 더하거나 서로 곱해도 집합 내 벡터가 된다.
Vector product는 보통 3차원 vector의 cross product를 가리킨다. 두 vector에 모두 수직인 vector를 만들며, 방향은 right-hand rule로 정한다.
어떤 벡터들 v_{1}, \ldots, v_{n} 로 구성된 집합의 그람 행렬은 각 벡터들의 내적 (정확히는 inner product) G_{i j}=\left\langle v_{i}, v_{j}\right\rangle 이 원소로 표현된 행렬을 의미한다.