Outer Product

사이즈가 각각 $m \times 1$ 그리고 $n \times 1$ 인 두 벡터가 있다고 가정하자.

u = u_{1} u_{2} ⋮ u_{m}, v = v_{1} v_{2} ⋮ v_{n}

이때 두 벡터 간 외적 $u \otimes v$ 은 $m \times n$ 크기의 행렬 $A$ 로 표현된다.

u \otimes v = A = u_{1} v_{1} u_{2} v_{1} ⋮ u_{m} v_{1} u_{1} v_{2} u_{2} v_{2} ⋮ u_{m} v_{2} \dots \dots ⋱ \dots u_{1} v_{n} u_{2} v_{n} ⋮ u_{m} v_{n}

$u \otimes v$ 은 행렬 곱 $u v^{T}$ 과 동일하다. 여기서 $v^{⊤}$ 는 row vector 를 의미한다.

예시로 $m = 4$ 이고 $n = 3$ 인 케이스를 살펴보자.

u \otimes v = uv^{⊤} = u_{1} u_{2} u_{3} u_{4} [v_{1} v_{2} v_{3}] = u_{1} v_{1} u_{2} v_{1} u_{3} v_{1} u_{4} v_{1} u_{1} v_{2} u_{2} v_{2} u_{3} v_{2} u_{4} v_{2} u_{1} v_{3} u_{2} v_{3} u_{3} v_{3} u_{4} v_{3}

다른 벡터 연산과 비교

외적은 두 벡터 간 연산의 결과가 행렬이다. 이는 두 벡터 간 내적 이 scalar 인 것과 다른 개념을 보인다. 그리고 vector product 는 두 벡터에 수직이 되는 벡터를 결과로 얻는다.