Matrix Multiplication

Vector 의 경우

$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 의 경우 다음과 같이 행 또는 열을 나눠서 계산할 수 있다.

Multiplication by Rows

$$A\mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}(\mathrm{row}1)\cdot x\\ (\mathrm{row}2)\cdot x\\ (\mathrm{row}3)\cdot x\end{array}\right]$$

Multiplication by Columns

$$Ax=x(\text{column}1)+y(\text{column}2)+z(\text{column3)}$$

또는

$$AB=A\left[\begin{array}{lll}{b}_1& b_2& b_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{llc}A{b}_1& A{b}_2& A{b}_3\end{array}\right]$$

이를 linear combination of columns 라고 표현한다.

Blocks

matrix $A$ 와 $B$ 가 block 형태로 나눠진다면, $AB=C$ 는 block 들의 곱 형태로 표현할 수 있다.

$$\left[\begin{array}{ll}{A}_1& A_2\\ A_3& A_4\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}{B}_1& B_2\\ B_3& B_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}{C}_1& C_2\\ C_3& C_4\end{array}\right]$$

인 경우: $C_1=A_1{B}_1+A_2{B}_3$

Dot Product 를 활용한 계산

위 $x$ 와 달리 여기 $x,y,z$ 는 scalar 로, vector 의 element (from $\mathbf{b}$)

• $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 가 unique solution 을 만족하 위한 조건은 무엇이 있는가?
  • $A$ 가 invertible.
  • columns are independent.
  • the determinant isn’t zero.

Related

References