Gamma Distribution

• The gamma distribution can be parameterized in terms of a shape parameter $\alpha =k$ and an inverse scale parameter $\beta =1/\theta$, called a rate parameter.
  • exponential distribution 에서는 rate parameter 는 event 의 발생 빈도 (rate) 로 해석되고, $\lambda =1/\theta$ 로 표현된다.
  • 또한 $k$ 는 당신이 기다리는 $k$ 번째 event 를 의미한다.
• A random variable $X$ that is gamma-distributed with shape α and rate β is denoted
  • $X\sim \Gamma (\alpha ,\beta )\equiv \Gamma (\alpha ,\beta )$

B) 특징

The exponential distribution, Erlang distribution, and chi-square distribution are special cases of the gamma distribution.

C) 왜 Gamma Distribution 가 필요한가?

• 감마 분포는 어떤 미래의 이벤트가 발생할때 까지 기다리는 시간을 예측할 때 사용한다.
  • 즉, 감마 분포는 $k$ 번째 event 가 발생하기 전까지 기다리는 시간을 예측한다.
    • $k$ 는 gamma 분포에서 shape parameter 로 사용된다.
• 또한, Gaussian distribution 와 유사하게 확률 분포를 모델링할 수 있는데, 가우시안 분포와 달리 감마 분포는 항상 양수를 가진다는 차이점이 있어서 실생활 현상을 모델링 하는데 적합하다.
  • 예시) 자동자의 속도를 모델링 (평균 60km, 표준편차 $\pm$10km)

D) Mean, Variance, Mode

• Mean: $k\theta$
• Variance: $k{\theta }^2$
• Mode: $(k-1)\theta$ for $k\ge 1$

[pdf](Probability Density Function) of Gamma distribution

• $f(x;\alpha ,\beta )=\frac{x^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}\text{for}x>0\alpha ,\beta >0$
  • $\alpha =k$: shape parameter, $\beta =1/\theta$:rate parameter
  • $\Gamma (\alpha )=(\alpha -1)!$ 는 gamma function

plots

E) Related

Poisson distribution, Erlang distribution

F) References

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