Poisson point process

• Related

  • Poisson distribution
  • exponential distribution
  • Gamma distribution
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• 소개

  • Poisson process 라고도 불리며, counting process 중 하나이다.
  • 발생 비율 (rate) $\lambda$ 를 가진 어떠한 이벤트가 특정 구간 내에서 발생할 횟수를 세는데 주로 사용된다.

• 정의

  • $\{N(t),t\in [0,\infty )\}$ 에서 rates $\lambda$ 에 해당하는 Possion process 는 다음과 같은 조건을 지닌다.
    • $N(0)=0$
    • $N(t)$ 는 independent 및 stationary increments 하다.
    • 길이 $\tau >0$ 를 가진 어떤 구간내 arrivals 횟수는 $\mathrm{Poisson}(\lambda \tau )$ 분포를 따른다.
      • arrivals: 이벤트가 발생하는 것
  • 디테일한 정의

    • arrival 횟수에 따른 possion process 를 $\Delta$ 에 따라 정리하면 다음과 같다 : $\begin{array}{rl}& P(N(\Delta )=0)=1-\lambda \Delta +o(\Delta )\\ & P(N(\Delta )=1)=\lambda \Delta +o(\Delta )\\ & P(N(\Delta )\ge 2)=o(\Delta )\end{array}$

    • 정의 유도 과정

      • 구간 $\tau$ 를 길이가 $\Delta$ 인 굉장히 짧은 interval 로 만들어보자.

      • 이제 해당 구간 $\Delta$ 내에서 arrivals 의 수가 $0$ 일때의 확률은 다음과 같다 : $\begin{array}{rl}P(N(\Delta )=0)& =e^{-\lambda \Delta }\\ & =1-\lambda \Delta +\frac{{\lambda }^2}{2}{\Delta }^2-\cdots \text{(TaylorSeries)}\end{array}$

      • [테일러 급수](Taylor Approximation) 에서 2 차 이상은 $\Delta$ 가 0 에 가까워질수록 의미없어진다 (negligible).

      • arrival 수가 $1$ 인 경우도 비슷하게 정리하면 다음과 같다 : $\begin{array}{rl}P(N(\Delta )=1)& =e^{-\lambda \Delta }\lambda \Delta \\ & =\lambda \Delta \left(1-\lambda \Delta +\frac{{\lambda }^2}{2}{\Delta }^2-\cdots \right)\text{(TaylorSeries)}\\ & =\lambda \Delta +\left(-{\lambda }^2{\Delta }^2+\frac{{\lambda }^3}{2}{\Delta }^3\cdots \right)\\ & =\lambda \Delta +o(\Delta )\end{array}$

        • $o(\Delta )$ 는 의미없어진 함수
  • Nonhomogeneous
    • stationary increments 특성을 지니지 않은 Poisson process

• 특성

  • stationary increments
    • 정의를 통해 arrivals 의 횟수는 오직 구간의 길이에 의존한다는 것을 알 수 있다.
    • 이를 Possion process 가 stationary increments 를 따른다라고 생각할 수 있다.
  • events must be without any aftereffects
    • 발생하는 일련의 이벤트는 상관관계가 없이 서로 독립적이여야 한다.

• 예시

  • 잡화점에 손님이 도착할 횟수에 대해 Possion process 를 이용하여 모델링하시오. 단, 시간당 도착할 손님의 intensity 는 $\lambda =10$ 이다.
    • 두 손님이 10:00 와 10:20 사이에 도착할 확률을 계산하시오.
      • 1 시간의 1/3 이므로, $\tau =\frac{1}{3}$ 이다. 그리고 정의에 의해 해당 구간에 arrivals 의 횟수 $X$ 는 $X\sim \mathrm{Poisson}(10/3)$ 를 따른다.
      • 즉, $\text{displaystyleP}(X=2)=\frac{e^{-\frac{10}{3}}{\left(\frac{10}{3}\right)}^2}{2!}\approx 0.2$
    • 세 손님이 10:00 와 10:20 사이에 도착하면서 그리고 10:20 과 11:00 사이에 일곱 손님이 도착할 확률을 계산하시오.

      • 두 구간이 겹치지 않으므로, independent increments 성질에 의해 다음과 같이 계산할 수 있다 : $P\left(3\text{arrivalsin}{I}_1\text{and}7\text{arrivalsin}{I}_2\right)=P\left(3\text{arrivalsin}{I}_1\right)\text{cdotP}\left(7\text{arrivalsin}{I}_2\right)$

        • $I_1$ 는 (10:00, 10:20], 그리고 $I_2$ 는 (10:20, 11:00] 이다.

      • 각 구간에 대해 ${\tau }_1=1/3$ 그리고 ${\tau }_2=2/3$ 이므로, 확률은 다음과 같다 : $\text{displaystyleP}\left(3\text{arrivalsin}{I}_1\text{and}7\text{arrivalsin}{I}_2\right)=\frac{e^{-\frac{10}{3}}{\left(\frac{10}{3}\right)}^3}{3!}\cdot \frac{e^{-\frac{20}{3}}{\left(\frac{20}{3}\right)}^7}{7!}$

      • 정답은 $\approx 0.0325$

• Interarrival and Arrival times

  • Interarrival times

    • $N(t)$ 이 $\lambda$ 인 Poisson process 를 따른다면, interarrival times $X_1,X_2,\cdots$ 은 independent 하고 exponential distribution 을 따른다 : $X_i\sim \mathrm{Exponential}(\lambda )$

    • $X_i$ 는 $i$ 번째 arrival 과 $i-1$ 번째 arrival 이 발생한 시구간

  • 

• arrival times

  • $N(t)$ 이 $\lambda$ 인 Poisson process 를 따른다면, 각 arrival times $T_1,T_2,{\text{cdotsT}}_n$ 은 Gamma distribution 을 따른다: $\mathrm{Gamma}(n,\lambda )$
    • $\begin{array}{rl}& T_1=X_1\\ & T_2=X_1+X_2\\ & T_3=X_1+X_2+X_3\end{array}$ … 이고, $T_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ 의 $X_i\sim \mathrm{Exponential}(\lambda )$ 가 독립일 때 $T_n\sim \mathrm{Gamma}(n,\lambda )$ 를 만족한다.

• 즉, 각 $n=1,2,3,\cdots$ 에 대해, $E\left[T_n\right]=\frac{n}{\lambda },\text{and}\mathrm{Var}\left(T_n\right)=\frac{n}{{\lambda }^2}$