Schwarz Inequality

$$|\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}|\le \Vert \mathbf{v}\Vert \Vert \mathbf{w}\Vert$$

위 식은 두 unit vectors $\mathbf{v}/\Vert \mathbf{v}\Vert$ 와 $\mathbf{w}/\Vert \mathbf{w}\Vert$ 의 내적이 절대 1 을 넘지 않는다는 관찰에 의해 세워진 부등식이다.

이 식을 통해 “geometric mean $\le$ Arithmetic mean” 을 표현할 수 있다.

(유도 과정) 두 벡터 $\mathbf{v}=(a,b)$ 와 $\mathbf{w}=(b,a)$ 가 있을 때, 슈바르츠 부등식에 의해 $2\mathbf{a}\mathbf{b}\le {\mathbf{a}}^2+{\mathbf{b}}^2$ 를 만족한다. 여기서 $x=a^2$ 그리고 $y=b^2$ 와 같이 치환하면, geometric mean 인 $\sqrt{xy}$ 는 arithmetic mean 인 $\frac{1}{2}(x+y)$ 를 절대 넘지 않는다.

$$\sqrt{xy}\le \frac{x+y}{2}$$

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References