Solving Ax=b

$A x = b$ 를 푼다고 했을 때, solution 이 얼마나 많은지 어떻게 아는가?

$A x = b$ 의 모든 solution 을 찾기 위해서는 1) 우선 이 수식이 풀리는지 확인하고, 2) 이후 particular solution 을 찾아야 한다.

$A x = b$ 가 풀리는 경우는 $b$ 가 반드시 $A$ 의 column space $C (A)$ 에 있어야 한다.
이를 확인했다면, 임의의 한 particular solution $x_{p}$ 을 찾는다. 그리고 이를 nullspace 에 있는 generic vector $x_{n}$ 과 합쳐서 general solution $x_{complete} = x_{p} + x_{n}$ 을 찾는다.

2. 예시

A = 1232462682810

$A$ 의 세번째 행은 두번째 행과 세번째 행의 합이므로 $A x = b$ 가 solution 을 가지려면 $b$ 도 $b_{3} = b_{1} + b_{2}$ 를 만족해야 한다. 즉, augmented matrix 를 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.

1232462682810 b_{1} b_{2} b_{3} \to \dots \to 100200220240 b_{1} b_{2} - 2 b_{1} b_{3} - b_{2} - b_{1}

위 matrix $A$ 의 free variable 은 2 개이고, pivot 은 2 개이다.

여기서 $b_{3} - b_{2} - b_{1} = 0$ 를 만족해야 하므로, 한가지 예로 $b = 156$ 를 택할 수 있다. 그리고 free variable 을 0 으로 설정하면 particular solution 을 얻는다.

x_{p} = - 2 0 3/2 0

그 다음 nullspace 의 generic vector 를 구할 차례다. $A x_{n} = 0$ 를 기반으로 special solution 을 구한다면, $A x = 156$ 에 대한 전체 solution 은 다음과 같다.

x_{complete} = - 2 0 3/2 0 + c_{1} - 2 100 + c_{2} 20 - 2 1

보다시피 $A$ 의 nullspace 는 $R^{4}$ 에 대한 2 차원 subspace 이다. 그리고 $A x = b$ 에 대한 모든 solution 들은 $x_{p}$ 를 통과하는 plane 에 평행한 plane 을 나타낸다.