Sherman–Morrison Formula

행렬 $A$ 의 역행렬을 알고 있을 때, $A+{\mathbf{uv}}^{\top }$ 의 역행렬을 비교적 빠르게 구할 수 있는 방법

$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 가 invertible matrix 고, $\mathbf{u},\mathbf{v}\in {\mathbb{R}}^n$ 가 column vector 일 경우, $A+{\mathbf{uv}}^{\top }$ 의 역행렬이 존재할 필요충분조건은 $1+{\mathbf{v}}^{\top }{A}^{-1}\mathbf{u}\ne 0$ 이다.

나아가 $A+{\mathbf{uv}}^{\top }$ 의 역행렬이 존재한다면 다음 공식이 성립한다.

$${\left(A+{\mathbf{uv}}^{\top }\right)}^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}{\mathbf{uv}}^{\top }{A}^{-1}}{1+{\mathbf{v}}^{\top }{A}^{-1}\mathbf{u}}$$

이 식의 general 한 버전이 Woodbury formula 이다.

2. Related

3. References

https://jjycjnmath.tistory.com/398