Moore-Penrose Pseudoinverse

Moore-Penrose 의사역행렬, 즉 $\mathbf{A}$의 pseudoinverse는 다음과 같이 정의됩니다.

${\mathbf{A}}^{+}=\underset{\alpha \searrow 0}{\lim }{\left({\mathbf{A}}^{\top }\mathbf{A}+\alpha \mathbf{I}\right)}^{-1}{\mathbf{A}}^{\top }$

하지만 실제로 위의 정의는 계산에 직접적으로 활용되지 않습니다. 대신 보통 아래와 같은 공식을 사용합니다.

${\mathbf{A}}^{+}=\mathbf{V}{\mathbf{D}}^{+}{\mathbf{U}}^{\top }$

여기서 $\mathbf{U},\mathbf{D},\mathbf{V}$는 $A$의 singular value decomposition에서 얻어진 행렬들입니다. 대각행렬 $\mathbf{D}$의 pseudoinverse인 ${\mathbf{D}}^{+}$는, $\mathbf{D}$의 0이 아닌 원소에 대해 역수를 취하고, 그 결과로 얻어진 행렬을 전치(transpose)하여 만듭니다.