Quantile Function

quantile function 은 CDF 의 역함수를 의미하며, 어떤 분포의 함수 $F$ 에 대한 quantile function $Q$ 는 다음을 만족하는 $x$ 를 반환한다

$$F_X(x):=\mathrm{Pr}(X\le x)=p$$

즉, CDF 에서는 랜덤 변수 $X$ 가 $x$ 보다 작을 확률을 의미했다면,

반대로 quantile 함수는 어떤 확률 $p$ 가 주어졌을 때, $p$ 에 해당하는 $x$ 를 찾아준다:

$$F^{-1}(p)=x$$

2. Use-case

inverse tranform sampling

3. 예시

exponential distribution 의 CDF 는 다음과 같다.

$$F(x;\lambda )=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda x}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$$

• 이 분포의 quantile 함수는 $x=Q$ 로 설정함으로써 얻을 수 있다: $1-e^{-\lambda Q}=p$
  • $Q(p;\lambda )=\frac{-\ln (1-p)}{\lambda },0\le p<1$
• 그리고 각 quartiles 에 따른 결과는 다음과 같다.
  • first quartile ($p=1/4$): $-\ln (3/4)/\lambda$
    • 해석: exponential 분포에서 random sampling 한 값이 특정 값 $x$ 보다 작은데, 그 확률이 25% 를 만족하는 $x$ 의 값은? $x=-\ln (3/4)/\lambda$
  • median $(p=2/4)$: $-\ln (1/2)/\lambda$

4. Related

5. References

• https://stats.stackexchange.com/questions/212813/help-me-understand-the-quantile-inverse-cdf-function
• https://en.wikipedia.org/wiki/Quantile_function