Taylor Approximation

테일러 급수 (Taylor series) 또는 테일러 전개 (Taylor expansion) 는 어떤 미지의 함수 $f(x)$ 를 아래 식과 같이 근사 다항함수로 표현하는 것을 말합니다.

$f(x)=p_{\infty }(x)$

$\begin{array}{rl}{p}_n(x)& =f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k\end{array}$

• 주의해야 될 사항은 좌변과 우변이 모든 $x$ 에 대해 같은 것이 아니라 $x=a$ 근처에서만 성립한다는 점입니다.
• 즉, $x$ 가 $a$ 에서 멀어지면 멀어질수록 $f(x)=p(x)$ 로 놓는 것은 큰 오차를 갖게 됩니다.

테일러 급수는 결국 $x=a$ 에서 $f(x)$ 와 동일한 미분계수를 갖는 어떤 다항함수로 $f(x)$ 를 근사시키는 것입니다.

• 위 식에서 $f(a)=p(a),f^{\prime }(a)=p^{\prime }(a),f^{\prime \prime }(a)=p^{\prime \prime }(a),\dots$ 임은 쉽게 확인할 수 있을 것입니다.

B) 테일러 급수가 필요한 이유?

우리가 잘 모르거나 복잡한 함수를 다루기 쉽고 이해하기 쉬운 다항함수로 대체시키기 위함입니다. 또한 어떤 함수를 테일러 급수로 표현하면 그 함수의 특성을 분석하기가 좀더 용이해지기 때문입니다.

B.1) 예시

$${\int }_0^1\sin \left(x^2\right)dx={\int }_0^1\left(x^2-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^{10}}{5!}-\cdots \right)dx$$

C) Taylor’s Theorem

테일러 정리는 $n$ 번 미분가능한 함수 $f(x)$ 에 대해 $f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+h_n(x)(x-a{)}^n$ 그리고 ${\lim }_{x\to a}{h}_n(x)=0$ 를 만족하는 실함수 $h(x)$ 가 반드시 존재한다는 것을 의미한다.

이 때, $h(x)(x-a{)}^n$ 은 근사오차를 나타낸다.

즉, 테일러 정리 (Taylor’s theorem) 는 어떤 함수를 유한차수 ($n$ 차) 의 다항함수로 근사시킬 수 있는 수학적 근거를 제공합니다. 

E) References

• https://darkpgmr.tistory.com/59