Gaussian Integral

A.1) 정의

Euler–Poisson integral (엘룰러 - 푸아송 적분) 이라고 부르기도 하며, 다음과 같은 적분을 의미한다

\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π

- 일반적인 form은 다음과 같다: $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x+b)^{2}}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}$

증명: 극좌표 (polar coordinates) 를 활용한 증명

(\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x)^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x \int_{- \infty}^{\infty} e^{- y^{2}} d y = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y

$e^{- (x^{2} + y^{2})} = e^{- r^{2}}$ 를 고려하면, 다음과 같이 전개된다.

\iint_{R^{2}} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\infty} e^{- r^{2}} r d r d θ = 2 π \int_{0}^{\infty} r e^{- r^{2}} d r = 2 π \int_{- \infty}^{0} \frac{1}{2} e^{s} d s s = - r^{2} = π \int_{- \infty}^{0} e^{s} d s = π (e^{0} - e^{- \infty}) = π

즉, $(\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x)^{2} = π$ 이므로, $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π$ 이다.