정의
Euler–Poisson integral (엘룰러 - 푸아송 적분) 이라고 부르기도 하며, 다음과 같은 적분을 의미한다
- 일반적인 form은 다음과 같다: $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x+b)^{2}}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}$
증명: 극좌표 (polar coordinates) 를 활용한 증명
를 고려하면, 다음과 같이 전개된다.
즉, 이므로, 이다.
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Euler–Poisson integral (엘룰러 - 푸아송 적분) 이라고 부르기도 하며, 다음과 같은 적분을 의미한다
∫−∞∞e−x2dx=π- 일반적인 form은 다음과 같다: $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x+b)^{2}}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}$
증명: 극좌표 (polar coordinates) 를 활용한 증명
(∫−∞∞e−x2dx)2=∫−∞∞e−x2dx∫−∞∞e−y2dy=∫−∞∞∫−∞∞e−(x2+y2)dxdye−(x2+y2)=e−r2 를 고려하면, 다음과 같이 전개된다.
∬R2e−(x2+y2)dxdy=∫02π∫0∞e−r2rdrdθ=2π∫0∞re−r2dr=2π∫−∞021esdss=−r2=π∫−∞0esds=π(e0−e−∞)=π즉, (∫−∞∞e−x2dx)2=π 이므로, ∫−∞∞e−x2dx=π 이다.
normalizing constant (정규화 상수) 는 어느 확률 분포를 총 합이 1 인 pdf 로 만들기 위해 사용하는 상수를 의미한다. 예시 References en.wikipedia.org/wiki/Normalizing_constant
normalizing constant (정규화 상수) 는 어느 확률 분포를 총 합이 1 인 pdf 로 만들기 위해 사용하는 상수를 의미한다. 예시 어느 가우시안 함수 p(x)=e^{-x^{2}/2},x\in(-\infty,\infty) 를 고려해보자.
Interpolation(인터폴레이션, 보간) 이란 알려진 지점의 값 사이 (중간) 에 위치한 값을 알려진 값으로부터 추정하는 것을 말한다. 예를 들어, 어떤 사람이 20 살일때 키와 40 살에서의 키를 보고 30 살에서의 키를 추측하는 것이다.
Proofs dot product 를 활용한 증명 c=\mathbf{a}-\mathbf{b} \begin{aligned} c \cdot c &=(\mathbf{a}-\mathbf{b}) \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{b}) \\ &=\mathbf{a} \cdot...
quadratic 함수란 가장 높은 degree 가 2 면서 한개 이상의 변수를 가지는 polynomial 함수를 의미한다. 예시 예를 들어 단일 변수 (univariate) 에 대한 quadratic function 은 다음과 같다.
cosine \displaystyle\cos(x)=\sum {k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{1}{(2k)!}x^{2k} sine \displaystyle\sin(x)=\sum {k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{1}{(2k+1)!}x^{2k+1}.
Products of Indicator Functions Because 0·1=0, the product of indicator functions can be combined into a single indicator function with a modified condition.
n distinct 객체에서 r 개를 뽑는 방법의 수 { } {n} P {r}=\frac{n !}{(n-r) !} 만약 n 개의 객체 중 n k 는 k 번째 객체로 동일하다면, 다음과 같이 뽑을 수 있다.
\displaystyle\operatorname{sim}(u,v)=\frac{u^{\top}v}{\|u\| {2}\|v\| {2}} 두 벡터가 서로 유사할수록, Cosine similarity 값은 커진다. Vs.
정의 geometry 에서, simplex 란 임의의 차원에 대한 일반화된 삼각형을 의미 simplex 는 어떤 임의의 차원 공간에서 polytope(다포체) 를 표현하기 가장 쉬운 의미라서 사용됨 예시) 0-simplex 는 점 1-simplex 는 선 2-simplex 는 triangle 3-simplex 는...
convex function 의 반대 함수 주어진 함수가 Concave 인지 확인하는 법 2 차 미분이 음수인것을 확인하면 된다. 예시 Q) g(x)=\log x 가 concave 한지 판단하라.