General Solution 찾는 법
- 에 대한 particular solution 을 찾는다.
- 에 대한 모든 solution 을 찾는다.
- (1) 과 (2) 에서 찾은 solution 을 하나로 합쳐서 general solution 을 얻는다.
한계점
general solution 은 찾기 어려워서 Gaussian elimination 을 통해 수식을 쉬운 form 으로 만들어서 푼다.
1 min read
general solution 은 찾기 어려워서 Gaussian elimination 을 통해 수식을 쉬운 form 으로 만들어서 푼다.
special solution 이란, Ax=0 의 계산 상황에서 free variable 를 임의의 값으로 설정하여 얻어낸 solution x 를 의미한다. 그리고 special solution 들에 대한 선형 결합 은 nullspace 를 구성한다.
Elimination produces an upper triangular system. To eliminate x : Subtract a multiple of equation 1 from equation 2.
A \mathbf{x}=\mathbf{b} 를 푼다고 했을 때, solution 이 얼마나 많은지 어떻게 아는가? A \mathbf{x}=\mathbf{b} 의 모든 solution 을 찾기 위해서는 1) 우선 이 수식이 풀리는지 확인하고, 2) 이후 particular solution 을 찾아야 한다.
The General Form of a System of Linear Equations \begin{gathered} a {11} x {1}+\cdots+a {1 n} x {n}=b {1} \\ \vdots \\ a {m 1} x {1}+\cdots+a {m n} x {n}=b {m} \end{gathered}...
가우스 - 조던 소거법은 두개 이상의 선형 방정식을 동시에 푸는 방법이다. 주로 Inverse matrix 를 찾기 위한 방법으로 쓰이는 듯 하다. 아래는 A 에 대한 inverse matrix 를 찾는 예시를 나타낸다.
augmented matrix 는 system of linear equations 를 compact 하게 표현할 수 있다.
Elimination 은 system of linear equations 을 풀기 위한 방식이다. 즉, A \mathbf{x}=\mathbf{b} 에서 \mathbf{x} 를 찾기 위한 전략을 의미한다.
Vector 의 경우 A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} 의 경우 다음과 같이 행 또는 열을 나눠서 계산할 수 있다.
정의 row-echelon form matrix 에서 pivot 에 해당되는 variable 을 basic variable 이라하고, 나머지를 free variable 이라 한다.
matrix A 를 lower triangular matrix L 과 upper triangular matrix U 로 분해하는 방법 A = LU 생각해보면 elimination matrix E 를 곱해서 U 를 계산하는 경우에, E 에 대한 Inverse matrix 로 L 을 계산한다고 생각할 수 있다.