eigen-decomposition

정수를 소인수분해할 수 있듯이 ($12=2\times 2\times 3$), 행렬도 분해 (decomposition) 가 가능합니다.

예를 들어, 어떤 행렬 $\mathbf{A}$ 가 $n$ 개의 선형 독립인 eigenvector $\left\{{\mathbf{v}}^{(1)},\dots ,{\mathbf{v}}^{(n)}\right\}$ 와 그에 대응하는 eigenvalue $\left\{{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\right\}$ 를 가진다고 합시다. 이 때, 모든 eigenvector 를 열 단위로 이어붙여서 $\mathbf{V}=[{\mathbf{v}}^{(1)},\dots ,{\mathbf{v}}^{(n)}]$ 라는 행렬을 만들 수 있습니다. 마찬가지로, 모든 eigenvalue 를 모아서 벡터 $\mathbf{\lambda }=[{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n{]}^{\top }$ 로 표현할 수 있습니다.

이때, $A$ 의 eigen-decomposition 은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$\mathbf{A}=\mathbf{V}\mathrm{diag}(\mathbf{\lambda }){\mathbf{V}}^{-1}$$

특히, 모든 실대칭행렬 (real symmetric matrix) 은 오직 실수값의 eigenvector 와 eigenvalue 만을 사용하여 다음과 같이 분해할 수 있습니다.

$$\mathbf{A}=\mathbf{Q}\Lambda {\mathbf{Q}}^{\top }$$