trapezoidal rule

Trapezoidal Rule 소개

수치 해석에서 사다리꼴 공식 (trapezoidal rule) 은 정적분을 근사하는 한 수치적분 방법이다.

사다리꼴 공식은 적분이 나타내는 넓이를 일련의 사다리꼴들의 넓이의 합으로 근사한다.

B) 정의

$f:\left[t_0,t_N\right]\to \mathbb{R}$ 에 대한 적분은 $F={\int }_{t_0}^{t_N}f(x)\mathrm{d}x$ 이다.

이때, trapezoidal rule 은 다음과 같다.

$$\tilde{F}=\sum _{i=0}^{N-1}\frac{\left(t_{i+1}-t_i\right)\left(f\left(t_{i+1}\right)+f\left(t_i\right)\right)}{2}$$

$N=1$ 인 경우는 다음과 같다.

$$\tilde{F}=\frac{\left(t_1-t_0\right)\left(f\left(t_1\right)+f\left(t_0\right)\right)}{2}$$

C) Application

C.1) Computing the posterior Distribution Using a Numerical Method

marginal probability 계산은 다음과 같다.

$$p(\mathcal{D})=\int p(\mathcal{D}\mid \mathbf{w})p(\mathbf{w})dw$$

이때, $\mathbf{w}$ 공간 위에 있는 joint density $p(\mathcal{D},\mathbf{w})=p(\mathcal{D}\mid \mathbf{w})p(\mathbf{w})$ 는 다음과 같이 근사할 수 있다.

$$\int p(\mathcal{D}\mid \mathbf{w})p(\mathbf{w})d\mathbf{w}\approx {\delta }^d\ast \sum _{\mathbf{w}\in W_{GRID}}p(\mathcal{D}\mid \mathbf{w})p(\mathbf{w})$$

• ${\mathbf{W}}_{GRID}$ 는 $\mathbf{w}$ 공간을 discretization 하여 weight vectors 의 집합으로 치환한 것을 의미한다.
• $\delta$ 는 discretization 내 points 간 간격을 의미하며, $d$ 는 $\mathbf{w}$ 공간의 차원을 의미한다.
• 일반적으로 차원 수 $d$ 가 커질수록 이러한 numerical integration 은 intractable 하게 된다.