Partial Derivatives

특정 차원에 해당하는 변수 $x$ 의 작은 입력값 변화 $\partial x$ 에 따른 함수의 작은 출력값의 변화 $\partial f$ 를 의미: $\frac{\partial f}{\partial x}$

1.1. 2 차원에서의 정의

limit definition of a partial derivative

$$\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}$$ $$\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h}$$

2. Symmetry of Second Partial Derivatives

다변수 함수에 대한 이차 미분을 계산할 경우, 순서는 상관없이 동일한 결과를 얻을 수 있다. 즉, 다음과 같다.

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$$

3. Graph 로 해석하는 Partial Derivatives

2 차원 point $(2,0)$ 을 예시로 보면 다음과 같다. 만약 우리가 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 가 궁금한 경우 $y$ 는 상수라고 생각하기 때문에, 함수 $f$ 와 $y=0$ 인 평면이 만나는 선에 대한 기울기를 partial derivative 라 생각할 수 있다.

4. Related

5. References