Gradient

임의의 함수에 대한 gradient 는 그 함수의 partial derivatives 함수들을 element 로 가지는 vector 를 의미한다.

즉, 어떤 함수 $f$ 에 대한 gradient 는 $\nabla f$ 로 표현하며, 이 nabla( $\nabla$ ) 기호는 편미분 계수 (함수) 들을 포함하는 벡터라고 생각해도 된다는 것이다.

B) 예시

$f (x, y) = x^{2} sin (y)$ 의 gradient 를 계산하면 다음과 같다.

\nabla f (x, y) = [2 x sin (y) x^{2} cos (y)]

어떤 함수의 gradient 란, 그 함수에서 가장 가파르게 올라갈 수 있는 방향 (steepest ascent) 을 의미한다.

이를 벡터장으로 확인할 수 있는데, 벡터장의 각 벡터마다 그래프 꼭대기로 가장 빨리가는 방향을 알려주고 있는 것을 볼 수 있다.
예시로, $f (x, y) = - (cos^{2} x + cos^{2} y)^{2}$ 에 대한 vector field 는 다음과 같다.

|400
(화살표가 짧을수록 경사가 완만하다는 의미다.)

gradient 는 등고선에 항상 수직하다. 왜냐하면 어떤 등고선에서 그 다음 등고선까지 가기위해서 가장 가까운 방향은 그 등고선 사이를 직선으로 잇는 방향일 것이고, 그 방향은 gradient 이며 이는 곧 수직을 의미하기 때문이다.

$f : R^{n} \to R$ 인 경우에 대한 gradients

$\frac{\partial a ^{⊤} X ^{- 1} b}{\partial X} = - (X^{- 1})^{⊤} a b^{⊤} (X^{- 1})^{⊤}$