결합 확률 (Joint Probability)
결합 확률은 여러 확률 변수의 값이 동시에 발생할 확률을 의미합니다. 이는 각 확률 변수의 표본 공간들의 데카르트 곱 (Cartesian product) 으로 정의됩니다.
A.1) 결합 확률 공식
결합 확률은 다음과 같이 계산됩니다:
여기서 는 와 가 동시에 발생한 횟수, 은 전체 사건 수를 나타냅니다.
A.1.1) 예시
- : A 도 참이고, B 도 참일 때의 결합 확률을 의미합니다.
A.2) 응용
A.2.1) 베이즈 정리 (Bayes Theorem)
베이즈 정리는 조건부 확률을 계산하는 중요한 도구입니다. 다음과 같은 식으로 표현됩니다:
[
P(X \mid Y) = \frac{P(X, Y)}{P(Y)}
]
이는 사건 Y 가 주어졌을 때 사건 X 가 일어날 조건부 확률을 구하는 방법입니다.
A.2.2) 주변화 (Marginalization)
주변화는 특정 변수를 제외하고 나머지 변수들에 대한 결합 분포를 구하는 과정입니다. 이를 통해 복잡한 다변량 분포에서 일부 변수를 제거하여 단순화된 분포를 얻습니다. 수식으로는 다음과 같이 표현됩니다:
[
여기서 는 기대값 (expectation) 을 나타냅니다.이 표현됩니다:
[
\operatornamefrac{n_{