Probabilistic Matrix Factorization

matrix factorization 은 다음과 같은 확률 모델로 바뀔 수 있다.

$$p\left(y_{ui}=y\right)=\mathcal{N}\left(y\mid \mu +b_u+c_i+{\mathbf{u}}_u^{\top }{\mathbf{v}}_i,{\sigma }^2\right)$$

이에 대한 NLL 은 일반적인 MF loss 식과 동일하다

$$\mathcal{L}(\mathbf{Z})=\sum _{ij:Y_{ij}\ne ?}{\left(Z_{ij}-Y_{ij}\right)}^2=\Vert \mathbf{Z}-\mathbf{Y}{\Vert }_F^2$$

$\underset{U,V}{\min }\sum _{i,j}{\left(r_{ij}-u_i^T{v}_j\right)}^2+{\lambda }_u{\Vert u_i\Vert }^2+{\lambda }_v{\Vert v_j\Vert }^2$ 을 최소화하는 방식

• $u_i\in {\mathbb{R}}^K$ 는 $i$ 번째 user 의 latent vector, $v_j\in {\mathbb{R}}^K$ 는 $i$ 번째 item latent vector
• ${\lambda }_u$ 와 ${\lambda }_v$ 는 regularization factor

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References

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