Mahalanobis distance

$${\Delta }^2=(\mathbf{x}-\mathbf{\mu }{)}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\Sigma }}^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{\mu })$$

• 만약 $\mathbf{\Sigma }$ 가 identity matrix 인 경우, $\mathbf{\mu }$ 부터 $\mathbf{x}$ 까지의 Euclidean distance 로 생각할 수 있다.
• 만약, 이 제곱 형태의 값이 상수라면, Gaussian distribution 은 $\mathbf{x}$- 공간의 평면에서 상수값이 될 것이다.
• multivariate Gaussian distribution 의 pdf 의 log 는 다음과 같이 표현된다.
  • pdf: $\mathcal{N}(\mathbf{y}\mid \mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })\triangleq \frac{1}{(2\pi {)}^{D/2}|\mathbf{\Sigma }{|}^{1/2}}\exp \left[-\frac{1}{2}(\mathbf{y}-\mathbf{\mu }{)}^{\top }{\mathbf{\Sigma }}^{-1}(\mathbf{y}-\mathbf{\mu })\right]$
  • $\log p(\mathbf{y}\mid \mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })=-\frac{1}{2}(\mathbf{y}-\mathbf{\mu }{)}^{\top }{\mathbf{\Sigma }}^{-1}(\mathbf{y}-\mathbf{\mu })+\text{const}$