Mean Field Approximation
variational inference 와 동일한 아이디어를 채택한 방식이다. 즉, posterior density 인 를 라는 density 로 근사시키는데, 이때 factorize 되는 형태를 취하게 한다.
위 식에서 확인할 수 있듯이, 각 에 대해 density 는 factorize 한다.
결국 아래와 같은 objective function 을 만족하는 parameter 를 찾아야 한다.
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variational inference 와 동일한 아이디어를 채택한 방식이다. 즉, posterior density 인 p(θ∣x) 를 g(θ∣ϕ) 라는 density 로 근사시키는데, 이때 factorize 되는 형태를 취하게 한다.
g(θ∣ϕ)=j=1∏Jgj(θj∣ϕj)위 식에서 확인할 수 있듯이, 각 θ=θ1,⋯,θJ 에 대해 density g 는 factorize 한다.
결국 아래와 같은 objective function 을 만족하는 parameter ϕ 를 찾아야 한다.
ϕ∗=argϕminKL(g(θ∣ϕ)∥p(θ∣x))이러한 가정은 mean field approximation 으로 알려져 있다. 이렇게 하면, 각 latent variable 에 대하여 update rule 계산을 독립적으로 수행할 수 있다. 수식 유도
B) Mean-field Form of Varitional Inference mean field approximation 참조 C) 특성 C.1) 장점 본디 posterior 를 estimation 하는 statistical inference 였던 문제를 optimization 문제로 바꿔준다....
Variational EM Algorithm 간단한 모델에서는 p\left(z\mid x;\theta\right) 에 대한 analytical solution 이 존재하여 q(z)=p\left(z\mid x;\theta\right) 을 구하는 것이 tractable 했다.
Variational Inference 변분 추론 (Variational Inference, VI) 은 intractable 한 posterior 분포 p(z\mid x) 를 다루기 쉬운 분포 q(z) 로 근사하는 방법론을 의미한다.
Optimization Problem 최적화 문제 (Optimization problems) 란 여러개의 선택가능한 후보 중에서 최적의 해 (Optimal value) 또는 최적의 해에 근접한 값을 찾는 문제를 일컫는다.
Bound Optimization tight lowerbound LL(\boldsymbol{\theta}) , Q\left(\boldsymbol{\theta},\boldsymbol{\theta}^{t}\right)\leq LL(\boldsymbol{\theta})...
quasi-Newton Method Newton-Raphson method 대신 사용하는 방식으로, 주어진 함수들에 대한 로컬 maxima 또는 minima 를 찾는 방법이다.
Jensen’s Inequality For a random variable x, if f(x) is convec (refer. convex function), then E[f(x)]>=f(E[x]).
Newton-Raphson Method Newton’s method 라고 불리기도 하며, 실수 함수의 approximate 한 해를 빠르게 찾는 방법이다.
BFGS BFGS 알고리즘은 Newton-Raphson method 의 장점을 취하면서 계산 비용을 줄인 방법이다. 이런 관점에서 BFGS 는 conjugate gradients 방식과 비슷하다. 뉴턴 방법의 업데이트는 아래와 같다.
Lagrange Multiplier Method Method of finding a local maximum subject to constraints.
Alternating Direction Method of Multipliers ADMM 은 원래의 convex 최적화 문제보다 최적화가 쉬운 부분문제로 분할하고 이를 취합함으로써 복잡한 원 문제를 해결하는 방식의 근사알고리즘이다.